配方法求最值例题20道

• 配方法求最值例题20道

以下是20道配方法求最值例题：

1. 求函数 y = x² + 2x的最值。

解： y = (x + 1)² - 1 ≥ - 1，即当 x = - 1时，函数取最小值 - 1。

2. 求函数 y = 2x² - 6x + 5的最值。

解： y = (2x - 3)² - 4，当 x = 1.5时，函数取最小值 - 4。

3. 求函数 y = x³ - x² - x + 5的最值。

解： y = (x² - x + 1/4)² + (5 - 1/4)

当 x = 1/2时，函数取最小值 - 3/8。

4. 求函数 y = (x + a)² + b的最值。

解：当 a > 0时，当 x = - a时，函数取最小值 b；

当 a < 0时，当 x = a时，函数取最小值 b。

5. 求函数 y = x² - 6x + 9的最值。

解：配方得 y = (x - 3)²，当 x = 3时，函数取最小值 0。

6. 求函数 y = x³ + x² - x的最值。

解：配方得 y = (x + 1/2)³ - 1/4，当 x = - 1时，函数取最小值 - 4。

7. 求函数 y = x⁴ + x³ - x²的最大值。

解：配方得 y = (x² + x + 1/4)(x² - x + 1)，当 x = - √3/3时，函数取最大值 (7 + √3)/6。

8. 求函数 y = (x² + a²)² - b(x² + a²)的最小值。

解：配方得 y = (x² + a² + b)² - a²b²，当 x = - a时，函数取最小值 a²b²。

9. 求函数 y = (x² + k)² + (k-2)x的最小值。

解：配方得 y = (x + k)²(k-2)，当 x = - k时，函数取最小值 k²-2k。

10. 求函数 y = x³ + ax² + bx + c的最值。

解：配方得 y = (x+a/6)³+b/24，当 x=-a/6时，函数取最大值(4ac-b²)/24a；当 x=-a/6时，函数取最小值(4ac-a³)/24。

11. 求函数 y = x⁴+x³-ax²-ax+a的最小值。

解：配方得y=(x+a/3)⁴-a(x+a/3)+a³/27，当x=-a/3时，函数取最小值-a³/27。

12. 求函数y=x^3+9x^2-6x+6的最小值。

解：配方得y=(x+3)^3+3，当x=-3时，函数取最小值3。

13. 求函数y=x^4-4x^3+6x^2的最大值。

解：配方得y=(x^2-2)^4+O(max)=（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（{-2}））））））））））））））））））），当x=0时，函数取最大值O(max)。

14. 求函数y=x^3-3x^2+mx的最大值。

解：配方得y=(x-√m)^3+m-m^3/3，当m>0时，当x=√m时，函数取最大值为m-m^3/3；当m<0时，当x=-√m时，函数取最大值为m-m^3/3。

15. 求函数y=x^4+ax^3+bx的最大值和最小值。

解：配方得y=(x^2+ax+b/2)^2+c(其中c为常数)，所以最大值为c+b^2/4；

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例1：求$y = x^{2} - 4x + 3$的最值。

解：$y = (x - 2)^{2} - 1 \geq - 1$，即当$x = 2$时，$y$有最小值$- 1$。

注意事项：

1. 对二次项进行移项时，要连同符号一起移。

2. 在二次项前面加上一次项系数倒数的绝对值，是为了使二次项系数变为$1$，从而使二次配方得以进行。

3. 对配方后的式子进行变形时，不要改变其符号。

例2：求$y = x^{2} + 8x + 18$的最小值。

解：$y = x^{2} + 8x + 16 + 2$，配方得$y = (x + 4)^{2} + 2 \geq 2$，即当$x = - 4$时，$y$有最小值$2$。

注意事项：

1. 当已知条件中没有具体的函数关系式时，要会根据条件列出函数关系式。

2. 在配方时，不要把常数项移项到等号的一边后再进行配方，而应把常数项移项后对整个多项式进行配方。

1. 在配方时要注意二次项的系数是否为1，如果不是1要进行变换；在进行变形时要保证等号两边同趋向时符号相同。

2. 在配方时要注意不要漏项或漏底数；配方后要把各项化为完全平方式与非完全平方式的形式。

3. 在求最值时要注意考虑自变量的取值范围。

4. 在配方后进行变形时要注意变形不能改变符号。

5. 在利用配方法解含绝对值符号的一元二次函数时，去绝对值符号时要考虑两种情况。

6. 在利用配方法求解时，一定要掌握配方法的基本步骤，并注意观察二次项系数与一次项系数之间的关系。

7. 在利用配方法解函数时，要注意等根问题，即求得的根要使二次项系数不为零。

希望以上信息对您有所帮助，如果您还有其他问题，欢迎告诉我。

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