小学数学科普：圆锥的体积公式的由来，值得收藏！

小学六年级，我们学过圆锥体的体积公式。 大家都知道，圆锥体的体积是等底等高圆柱体体积的1/3。 那么为什么它等于圆柱体体积的1/3呢？ 几乎所有版本的小学数学教材都采用演示的方式来说明。 即老师拿着一个等底、等高的透明圆柱体和圆锥体。 将锥体装满水（或沙子）并倒入圆柱体中三次。 如果圆柱体是满的，则意味着两者的体积是三倍。

当然，这样组织教材的目的是基于小学生的认知基础来处理，但在实际教学中，你会发现越来越多的孩子对这种解释不满意，他们会总是打破砂锅问问题。 这个问题的解释包括简单的微积分思维和祖训原理。 作为教师，我们有必要对孩子们进行一次数学科普，让他们明白其中的原理。 这无疑会培养孩子们进一步学习和研究数学的热情。

1、我们先来说一下圆面积的推导。

在推导圆的面积时，我们将圆分成几个“圆三角形”圆柱公式大全，然后将它们拼接成近似平行四边形。 分割成的小三角形越多，形状就越接近矩形。 然后比较两者的关系，利用矩形的面积公式推导圆形的面积公式。 这就是“化曲线为直线”的思想，而切割和拼凑的过程实际上用到了微积分的思想。

圆的面积=周长的一半×半径=πr×r=πr²（如图）

2、说说圆锥体积公式的由来

那么为什么圆锥体的体积与圆的面积有关呢？ 这里主要用的解释是用求圆面积的方法来“化曲线为直线”。 还是一样的道理。 首先，将圆柱体和圆锥体细分为等底、等高，如图所示。 划分足够细，曲线变成了直线。 那么划分出来的每一小块就是一个三棱柱和对应的三棱锥。

接下来我们要研究等底等高的三棱柱和三棱锥的关系。

这里先说一个结论，就是等底等高的三棱锥的体积是相等的。 这就需要先讲一个道理，祖训的道理。

祖训（ɡènɡ），又名祖续之，是中国著名数学家祖冲之（公元429-500年）的儿子。 他的活动时期大约是公元504-526年。 南朝齐梁时期数学家，曾任大臣。 祖父子在数学和天文学方面都做出了杰出的贡献。

祖逊在修改、编辑祖冲之的《诸书》时，提出了著名的祖逊原理，并巧妙地推导出球体积公式。

祖训原理又称祖氏原理，是一个涉及几何求积的著名命题。 公元656年，唐代李淳风在评论《九章》时提到了祖逊的开圈术。 祖逊在求球体体积时，运用了“势同则积不异”的原则。

祖训原理：“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任何平行于这两个平面的平面所截。如果这两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积就相等。”

如下图所示：两堆相同编号的相同书籍叠成两堆，一堆垂直堆放，另一堆斜向堆放（分别对应直棱柱和斜棱柱）。 使用与底部平行的横截面来切割这两堆。 棱柱的横截面积到处都相等，它们的体积显然也相等。 这是祖训原理的直观体现。

根据祖心原理，下列三个底面积相等的圆柱体的体积都相等：

因此，下图中，两个等底、等高的三棱锥，由于相似关系，在相同高度处的横截面积也相等。 因此，根据祖心原理，可以看出，两个等底、等高的三角锥，体积相等。

但圆锥体（棱锥体、圆锥体、不规则圆锥体）的体积不能直接按照上述方法定义。 我们可以回想一下，我们小学的时候，推导出了三角形面积的公式：两个相同的三角形可以组合成一个平行四边形，所以三角形的面积为：

我们可以模仿这种思路，不难证明三棱锥的体积等于等底等高三棱柱体积的1/3，如下图：

三棱柱ABC-A'B'C'的底面积（即△ABC的面积）为s，高（即A'点到平面ABC的距离）为h，那么它的体积为sh，沿平面A'BC和平面A'B'C，将此三棱柱分成三个三棱锥，其中三棱锥1和2的底面积相等（S△A'AB=S△A'B 'B)，且高度也相等（C点到平面ABB'A'）； 三棱锥2和3也具有相等的底面积(S△B'BC=S△B'C'C)和相等的高度(点A'到平面BCC'B'的距离)。 因此，这三个三棱锥的体积相等，每个三棱锥的体积等于等底等高三棱柱体积的1/3。

这不仅适用于金字塔，还适用于圆锥体。 只要是圆锥体，等底、等高的圆锥体的体积就相等。 从等面积关系不难看出，所有圆锥体的体积都等于同底同高圆柱体体积的1/3。

最后回到原来的圆柱和圆锥分割图。 由于圆柱体被分割成许多近似的小三棱柱，圆锥体被分割成许多相应的小三棱锥。 每个小三棱锥的体积是相应小三棱柱体积的三分之一。 ，所以圆锥体的最终体积是等底等高圆柱体体积的三分之一。 中学生完全可以理解这一点，理解力好的小学生也能理解。

好了，最后希望这些内容能够帮助我们的孩子提高学习数学的兴趣和积极性。 更多数学题，可以在下方留言，我们一起研究吧！

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